Contoh Soal Logaritma SNMPTN

1. Jika log log x + log 2 = 1, maka nilai ^xlog 5 = …

Jawab:

misalkan,

log x = a

log log x + log 2 = 1

log a + log 2 = 1

log 2.a = log 10

2a = 10

2. log x = 10

log x² = log 10¹⁰

x² = 10¹⁰

x = √10¹⁰

x = 10⁵

maka,

^xlog 5 = ^{10^5}log 5 = 1/5 . ¹⁰log 5 = 1/5 . log 5

2. Jika ⁴log 5 = p dan ⁴log 28 = q, maka ⁴log 70 = ….

Jawab:

⁴log 70 = ⁴log (28 . 5 / 2) = ⁴log 28 + ⁴log 5 - ⁴log 2 = q + p – ^{2^2} log 2 = p + q – ½.

3. Jika a > 1, b > 0 dan c > 1, maka nilai ^blog √a . ^clog b² . ^alog √c = ….

Jawab:

^blog √a . ^clog b² . ^alog √c = ^blog √a .  ^alog √c .  ^clog b² = ^blog a^1/2 .  ^alog c^1/2 .  ^clog b² = ½ . ^blog a . ½ .  ^alog  c . 2.  ^clog b² = 2/4. ^blog a .  ^alog c .  ^clog b = ½ . b log b = ½.

  

Jawab:

5. Jika ⁴log 6 = m + 1, maka ⁹log 8 = …

Jawab:

⁴log 6 = ^{2^2}log 2.3 = ½ (²log 2 + ²log 3) = ½ + ½ . ²log 3 =  m + 1

½ . ²log 3 = m + 1 – ½

²log 3 = 2 ( m + ½ )

²log 3 = 2m + 1

⁹log 8 = 1 / ⁸log 9 = 1/ ^{2^3}log 3² = 1 / 2/3 . ²log 3 = 3 / 2 . ²log 3 = 3 / 2(2m + 1) = 3 / (4m + 2)

Persamaan Trigonometri

Sekarang banyak yah buku yang menampilkan rumus-rumus cepat untuk menyelesaiakan persamaan trigonometri. Sayangnya penulis terkadang tidak mempertimbangkan dan memberikan catatan yang jelas tentang batasan rumus itu. Contohnya teman saya dia mendapat rumus penyelesaian kayak gini:
sin 2x + sin x = 0
2 sin 3/2x . cos 1/2x = 0
2sin 3/2x = 0
3/2 x = n . 180
x = n . 120
ada juga gini
cos 1/2 x = 0
1/2x = 90 + n . 180
boleh ajah sih klu kebetulan batasan sudutnya antara 0° dan 180° tapi masalahnya di situ tidak ada penjelasan yang jelas.
Padahal seharusnya 
sin 2x + sin x = 0
2 sin 3/2x . cos 1/2x = 0
sin 3/2x = 0 °

3/2x = 0 ° + n . 360 ° atau 3/2x = 180 ° - 0 ° + n . 360 °
Untuk n = 0
3/2x = 0 ° atau 3/2x = 180 °

x = 0 ° atau x = 120 °

Untuk n = 1
3/2x = 360 ° atau 3/2x = 180 ° + 360 °

x = 360 ° . 2/3 = 240 ° atau x = 540 ° . 2/3 = 360 °

... dst
cos 1/2x = 0
1/2x = 90  ° + n . 360 ° atau 1/2x = -90 ° + n . 360 °

untuk n = 0

1/2x = 90 ° atau 1/2x = -90 °

x = 180 ° atau x = 1/2x = -45 °

untuk n = 1
1/2x = 90 ° + 360 ° atau 1/2x = -90 ° + 360 °

1/2x = 450 ° . 2 = 900 ° atau x = 270 ° . 2 = 540 °

... dst
Jadi untuk persmaan trigonometri sebaiknya pakai rumus:
1) sin x = sin A
x = A + n . 360 ° atau
x = 180 ° - A + n . 360 °

2) cos x  = cos A
x = A + n . 360 ° atau 

x = -A + n. 360 °

3. tan x = tan A
x = A + n . 180 ° atau

x = 180 ° + A + n . 180 °

Catatan: nilai n = 0, 1, 2, 3,... sampai batasan nilai x yang diinginkan.
Semoga bermanfaat...

PERSAMAAN LINGKARAN

PERSAMAAN LINGKARAN DAN GARIS SINGGUNG

(Sukino, 2007: 206)

1. Persamaan lingkaran yang berpusat di O (0,0) dan berjari-jari 2√a adalah…

Jawab:

x² + y² = r²

x² + y² = (2√a)²

x² + y² = 4a

x² + y² – 4a = 0 … B

2. Persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan melalui titik  A(a,b) adalah…

Jawab:

3. Persamaan lingkaran yang berdiameter AB dengan A(-a,b) dan B(a,-b) adalah…

4. Persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) serta menyinggung garis 2x - 5  = 0 adalah…

Jawab:

5. Persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) serta menyinggung garis ay + b = 0  adalah…

Jawab:

Gerak Melingkar, Gerak Melingkar Beraturan (Bob Foster, …:105-106)

Gerak Melingkar

Gerak Melingkar Beraturan (Bob Foster, …:105-106)

1.  Sebuah baling-baling helicopter berputar sebanyak 900 putaran per menit.

a. Berapakah kecepatan sudutnya?

b. Berapakah kelajuan linier sebuah titik di ujung baling-baling jika radius baling-baling adalah 3 m?

Jawab:

Dik:

n = 900 kali.

t = 1 menit = 60 s

Dit:

a. ω …?

b. v → r = 3 m…?

Penye:

T = t/n = 60/900 = 0, 067

a. ω = 2τ/T = 2. 3,14 / 0, 067 = 93, 73 ≈ 94 rad/s.

b. v = ω . r = 94 . 3 = 282 m/s.

2. Pada sebuah mobil balap, jari-jari ban mobil sama dengan 30 cm. Mobil ini bergerak dipercepat dari keadaan diam sampai kecepatan 15 m/s dalam waktu 8 sekon. Dalam waktu 8 sekon tersebut, berapa kali ban mobil berputar?

Jawab:

Dik:

r = 30 cm = 0,3 m

v_o = 0 m/s

v =15 m/s

t = 8 s

Dit:

n → t = 8 s…?

Penye:

v_rata-rata = ½ (v₀ + v) = ½ (0 + 15) = 7,5 m/s

v = 2. τ. r. f

7,5 = 2. 3,14. 0,3. f

f = 7,5/1,884 = 3,98 ≈ 4 Hz

f = n / t

4 = n / 8

n = 4 . 8 = 32 putaran.

3. Seutas tali melilit sebuah roda yang berjari-jari 25 cm. Jika kelajuan sebuah titik pada tali yang sama dengan 5 m/s, berapakah kecepatan sudut roda ketika berputar?

Jawab:

Dik:

r = 25 cm = 0, 25 m

v = 5 m/s

Dit:

ω …?

Penye:

ω = v/r = 5 / 0, 25 = 20 rad/s.

4. Sebuah partikel bergerak melingkar dengan radius 40 cm. Jika partikel tersebut melakukan 5 kali putaran dalam setiap sekon, berapakah kelajuan linier partikel?

Jawab:

Dik:

r = 40 cm = 0,4 m

f = 5 Hz

Dit:

v …?

Penye:

v = 2. τ. r. f = 2. 3,14. 0,4. 5 = 12,56 ≈ 12,6 m/s

5. Sebuah benda bermassa 4 kg diikatkan pada tali dan diputar dengan jari-jari 6 m pada kelajuan konstan 12 m/s oleh seoarang pria. Berapakah kecepatan sudutnya?

Jawab:

Dik:

m = 4 kg

r = 6 m

v = 12 m/s

Dit:

ω …?

Penye:

ω = v/r = 12 / 6 = 2 rad/s.

RUMUS-RUMUS TRIGONOMETRI, RUMUS JUMLAH DAN PENGURANGAN COSINUS 3 (Sukino, 2007: 151)

RUMUS-RUMUS TRIGONOMETRI

RUMUS JUMLAH DAN PENGURANGAN COSINUS

(Sukino, 2007: 151)

Rumus:

1. cos (A + B) = cos A. cos B – sin A. sin B

2. cos (A - B) = cos A. cos B + sin A. sin B

Latihan Kompetensi Siswa 1

11. Bila α dan β sudut lancip, sin α = 3/5 dan sin β = 7/25, maka cos (α – β) = …

Jawab:

Buat segitiga siku-sikunya!!!

Sin α = 3/5

Cos α = 4/5

Sin β = 7/25

Cos β = 24/25

Cos (α – β) = cos α. cos β + sin α. sin β

                    = 4/5 . 24/25 + 3/5. 7/25

                    = 96/125 + 21/125

                    = 117/125… E

12. Pada suatu segitiga siku-siku ABC berlaku cos A cos B = ½, maka cos (A – B) =…

Jawab:

Pada persoalan ini saya belum menemukan cara penuruan rumus maka saya mencari nilai α dan β bila di cosinuskan kemudian dikalikan akan mendapatkan ½ .

Misalkan:

α = 45° dan β = 45° maka akan diperoleh:

cos α . cos β = cos 45°. cos 45° = ½ √2. ½ √2 2/4 = ½

Maka,

cos (α – β)    = cos (45- 45) °

                     = cos 0°

                     = 1…E

13.  sin 4x . sin 3x – cos 4x . cos 3x = …

Jawab:

sin 4x . sin 3x – cos 4x . cos 3x = - (cos 4x . cos 3x – sin 4x . sin 3x)

                                                   = - cos (4x +3x)

                                                   = - cos 7x …D

14. Dalam segitiga PQR diketahui cos P = ½ √2 dan cos Q = ½ √3. Nilai cos R = ….

Jawab:

cos P = ½ √2, maka P = 45 °

cos Q = ½ √3, maka Q = 30 °

∟ P + ∟Q + ∟R = 180°

45° + 30° + ∟R = 180°

∟R = 180° - 75° = 105°

cos 105° = cos (60 + 45) °

               = cos 60° . cos 45° - sin 60°. sin 45°

               = ½ . ½ √2 – ½ √3 . ½ √2

               = ¼ √2 (1 - √3) … B

15. Pada segitiga ABC dengan sin A = 3/5 dan sin B = 15/17, maka nilai cos C = ….

Jawab:

Misalkan,

∆ yang menangung sin A = ∆ I

∆ yang mengandung sin B = ∆ II

Saat disatukan untuk membentuk ∆ ABC maka ukuran ∆I berubah dengan syarat nilai sin A tetap.

sin A = 3/5 = tegak A/ miring A

3/ 5 =  15 / miring A

miring A = 15 . 5 /3 = 25

sisi samping ∆ I bisa di carii dengan Pythagoras hingga dapat 20.

cos C = cos (c₁ + c₂)

           = cos c₁ . cos c₂ – sin c₁ . sin c₂

              = 15/25 . 15/17 – 20/25. 8/17

           = 225/425 - 160/425

            = 65/425 = 13/85…B

RUMUS-RUMUS TRIGONOMETRI, RUMUS JUMLAH DAN PENGURANGAN COSINUS 2 (Sukino, 2007: 150)

RUMUS-RUMUS TRIGONOMETRI

RUMUS JUMLAH DAN PENGURANGAN COSINUS

(Sukino, 2007: 150)

Rumus:

1. cos (A + B) = cos A. cos B – sin A. sin B

2. cos (A - B) = cos A. cos B + sin A. sin B

Latihan Kompetensi Siswa 1

6. ½ √3 sin x + ½ cos x sama dengan …

Jawab:

½ √3 sin x + ½ cos x = sin 60°. sin x + cos 60°. cos x

                                   = cos 60°. cos x + sin 60°. sin x

                                   = cos x. cos 60° + sin x . sin 60°

                                   = cos (x – 60) °…C

7. Bila α dan β sudut lancip dengan cos α = 1/7 dan cos β = 11/14 maka cos (α + β) = …

Jawab:

cos α = 1/7

cos β = 11/14

sin α = 4√3/7

sin β = 5√3/14

cos (α + β)   = cos α. cos β – sin α. sin β

                    = 1/7. 11/14 - 4√3/7. 5√3/14

                    = 11/98 – 60/98

                    = -49/98 = -0,5 …B

8. Bila sin α = a dengan α tumpul, maka cos (α + τ/3) sama dengan…

Jawab:

sin α = a

cos α = -√(1- a²) … (- karena α tumpul)

τ/3 = 180°/3 = 60°

cos (α + τ/3) = cos (α + 60)°

                     = cos α . cos 60° - sin α. Sin 60°

                     = cos α . ½ - sin α . ½ √3

                     = -√(1- a²) . ½  – a. ½ √3

                     = –½ √3 a – ½ √(1- a²) … D

9. cos 125° cos 35° + sin 125° sin 35° sama dengan …

Jawab:

cos 125° cos 35° + sin 125° sin 35°   = cos (125 – 35)°

                                                           = cos 90°

                                                           = 0 …E

10. Bila tan α = 7/24 dan tan β = ¾ dengan α dan β merupakan sudut lancip maka cos (α + β) sama dengan …

Jawab:

Sin α = 7/25

Cos α = 24/25

Sin β = 3/5

Cos β = 4/5

Cos (α + β) = cos α. Cos β – sin α. Sin β

RUMUS-RUMUS TRIGONOMETRI, RUMUS JUMLAH DAN PENGURANGAN COSINUS 1 (Sukino, 2007: 150 -151)

RUMUS-RUMUS TRIGONOMETRI

RUMUS JUMLAH DAN PENGURANGAN COSINUS

(Sukino, 2007: 150 - 151)

Rumus:

1. cos (A + B) = cos A. cos B – sin A. sin B

2. cos (A - B) = cos A. cos B + sin A. sin B

Latihan Kompetensi Siswa 1

1. cos (x + 30°) = …

Jawab:

cos (x + 30°) = cos x. cos 30° - sin x. sin 30°

                       = cos x. 1/2√3 – sin x. ½

                       = ½(√3 cos x – sin x) …C

2. cox (x- 45°) = …..

Jawab:

cos (x - 45°)     = cos x. cos 45° + sin x. sin 45°

                        = cos x. 1/2√2 + sin x 1/2 √2

                        = ½ √2 (cos x + sin x) …A

3. cos 75° = …

Jawab:

Cos 75°     = cos (30 + 45) °

                  = cos 30°. cos 45° - sin 30°. Sin 45°

                  = ½ √3 . ½ √2 – ½ . ½ √2

                  = ¼ √2 (√3 -1) …A

4. cos 15° = …

Jawab:

Cos 15°     =  cos (45-30) °

                  = cos 45°. cos 30° + sin 45° . sin 30°

                  = ½ √2. ½ √3 + ½ √2 . ½

                  = ¼ √2 (√3 + 1) . √2/√2

                  = 2/4√2 (√3 +1)

                  = (√3 + 1)/2√2  … A

5. cos (x + y) cos (x – y) = …

Jawab:

Cos (x + y) cos (x – y) = cos ½(2x + 2y) cos ½ (2x – 2y)

                                      = ½ (cos 2x + cos 2y)

                                      = ½ (2 cos²x -1 + 2 cos²y -1)

                                      = ½ (2 cos²x + 2cos²y – 2)

                                      = cos² x + cos²y – 1

                                      = cos² x + cos²y – (sin²y + cos²y)

                                      = cos² x - sin²y … C

Jawaban Latihan Uji Kompetensi Siswa 11 (Buku: Matematika SMA kelas X semester 1, Penerbit: Erlangga, Penulis: Sukino)

Jawaban Latihan Uji Kompetensi Siswa 11

(Buku: Matematika SMA kelas X semester 1, Penerbit: Erlangga, Penulis: Sukino)

1. ² log 8 = 3 dapat ditulis sebagai…

Jawab:

Sudah Jelas.

2³ = 8 ( B )

2. Jika 3^x = y maka …

Jawab:

Sudah Jelas.

x = ³log y ( C )

3. Jika ^alo b = c maka…

Jawab:

Sudah Jelas.

b = a^c ( B )

4. Jika a^x = b maka…

Sudah Jelas.

^alog b = x ( D )

5. ⁴log 64 = …

Jawab:

⁴log 64 = ⁴log 4⁴ = 4 ( A )

6. ⁵log 625 = …

Jawab:

⁵log 625 = ⁵log 5⁴ =  4 ( A )

7. log 100.000 = …

Jawab:

Jika log tidak ditulis basisinya itu artinya berbasis 10, jadi

log 100.000 = ¹⁰log 10⁵ = 5 ( A )

8. ^0,1 log 100 = …

Jawab:

^0,1 log 100 = ^{10^-1}log 10² = 2/-1. ¹⁰ log 10 =  -2 ( A )

9. Jika ⁵log 125 = b maka ^blog 27 = …

Jawab:

⁵log 125 = ⁵log 5³ = 3 = b

Jadi,

³log 27 = ³log 3³ = 3 ( B )

10. ⁸log 8 = …

Jawab:

Sudah Jelas.

1 ( B )

Logaritma

^{Inti dari belajar logaritma adalah pengulangan menggunakan sifat Yang perlu dipikirkan adalah bagaiman bisa menyelesaikan soal dengan menggunakan sifat yang telah ada....... Selamat mecoba yah!!!}

^alog p.q = ^alog p + ^alog q

^alog (p/q) = ^alog p - ^alog q

^alog pⁿ = n . ^alog p

^alog p = ^blog p / ^blog a

^alog p = 1 / ^plog a

^alog a = 1

^alog aⁿ = n

^alog 1 = 0

^alog p . ^plog q = ^alog q

^{a^n} log p^m  = m/n ( ^alog p)

a ^ ^alog p = p

Keterangan:

^ : Pangkat.
Contoh soal dan pembahasannya:
Latihan Uji Kompetensi 11 Erlangga (Sukino)
Soal SNMPTN Logaritma 

Bentuk Pangkat

             Untuk setiap p,q bilangan real dan m, n bilangan bulat berlaku sifat-sifat bentuk pangkat berikut:

1. p^m × pⁿ = p^m+n

2. p^m : pⁿ = p^m-n

3. (p^m)ⁿ = p^m×n

4. (p × q)ⁿ = pⁿ × pⁿ

5. ⁿ =  , q ≠ 0.

Simbol-silmbol Matematika dan Fisikan serta Cara Bacanya

Simbol Abjad Yunani

            Biar cuma satu karakter tapi kadang bikin keringat dingin juga pas ditanya dan nggak tahu. Padahal simbol ini sering sekali jumpai pada pelajaran matematika dan fisika. Malu dong kalau nggak tahu cara bacanya dan pada akhirnya pakai bahasa isyarat atau kalau tidak melukisnya. Makannya tak sediain deh...

A atau α dibaca alpha

B atau β dibaca beta

γ atau ґ dibaca gamma

∆ atau δ dibaca delta

Е atau ε dibaca epsilon

Z atau ζ dibaca zeta

Н atau η dibaca eta

Θ atau θ dibaca theta

Ι atau ι dibaca iota

Κ atau κ dibaca kappa

Λ atau λ dibaca lambda

Μ atau μ dibaca mu

Ν atau ν dibaca nu

Ξ atau ξ xi

Ο atau ο dibaca omicron

Π atau π dibaca pi

Ρ atau ρ dibaca rho

Σ atau σ dibaca sigma

Τ atau τ dibaca tau

Υ atau υ dibaca upsilon

Φ atau φ dibaca phi

Χ atau χ dibaca chi

Ψ atau ψ dibaca psi

Ω atau ω dibaca omega

KONJUNGSI, DISJUNGSI, IMPLIKASI DAN BIIMPLIKASI

KONJUNGSI, DISJUNGSI, IMPLIKASI DAN BIIMPLIKASI

1.      Buatlah konjungsi dan disjungsi dari pasangan-pasangan pernyataan di bawah ini. Tentukan pula nilai kebenarannya!

a.       p :  2 + 4 = 6

      q :  6 bilangan genap

b.      p :  4 + 9 < 15

      q :  15 adalah bilangan genap.

c.       p :  Kuadrat bilangan genap adalah bilangan ganjil.

      q :  Kuadrat bilangan ganjil adalah bilangan ganjil.

d.      p :  cos 30° =

      q :  sin 90° = 1

e.       p :  6 merupakan bilangan kelipatan 4.

      q :  9 merupakan bilangan prima.

2.      Tentukan nilai kebenaran pernyataan implikasi berikut!

a.       Jika 7 bukan bilangan prima maka 7 bilangan ganjil.

b.      Jika 2 + 2 = 5 maka ayam menyusui anaknya.

c.       2 + 5 ≤  7 maka 7 bukan bilangan prima.

d.      Jika 2 + 6 = 8 maka sin 30° = 12

e.       Jika Jakarta di Pulau Bali, maka Jakarta ibukota RI.

3.      Tentukan nilai kebenaran pernyataan biimplikasi berikut!

a.       3 + 5 = 6 7 bilangan genap.

b.      6  5 = 30 10 + 8 = 18

c.       5 < 1 jika dan hanya jika 3² = 9

d.      Jakarta terletak di Pulau Jawa jika dan hanya jika 3² ≠  9

e.       3 adalah bilangan prima jika dan hanya jika 6 + 3 = 9