Contoh Soal Logaritma SNMPTN

1. Jika log log x + log 2 = 1, maka nilai ^xlog 5 = …

Jawab:

misalkan,

log x = a

log log x + log 2 = 1

log a + log 2 = 1

log 2.a = log 10

2a = 10

2. log x = 10

log x² = log 10¹⁰

x² = 10¹⁰

x = √10¹⁰

x = 10⁵

maka,

^xlog 5 = ^{10^5}log 5 = 1/5 . ¹⁰log 5 = 1/5 . log 5

2. Jika ⁴log 5 = p dan ⁴log 28 = q, maka ⁴log 70 = ….

Jawab:

⁴log 70 = ⁴log (28 . 5 / 2) = ⁴log 28 + ⁴log 5 - ⁴log 2 = q + p – ^{2^2} log 2 = p + q – ½.

3. Jika a > 1, b > 0 dan c > 1, maka nilai ^blog √a . ^clog b² . ^alog √c = ….

Jawab:

^blog √a . ^clog b² . ^alog √c = ^blog √a .  ^alog √c .  ^clog b² = ^blog a^1/2 .  ^alog c^1/2 .  ^clog b² = ½ . ^blog a . ½ .  ^alog  c . 2.  ^clog b² = 2/4. ^blog a .  ^alog c .  ^clog b = ½ . b log b = ½.

  

Jawab:

5. Jika ⁴log 6 = m + 1, maka ⁹log 8 = …

Jawab:

⁴log 6 = ^{2^2}log 2.3 = ½ (²log 2 + ²log 3) = ½ + ½ . ²log 3 =  m + 1

½ . ²log 3 = m + 1 – ½

²log 3 = 2 ( m + ½ )

²log 3 = 2m + 1

⁹log 8 = 1 / ⁸log 9 = 1/ ^{2^3}log 3² = 1 / 2/3 . ²log 3 = 3 / 2 . ²log 3 = 3 / 2(2m + 1) = 3 / (4m + 2)

Persamaan Trigonometri

Sekarang banyak yah buku yang menampilkan rumus-rumus cepat untuk menyelesaiakan persamaan trigonometri. Sayangnya penulis terkadang tidak mempertimbangkan dan memberikan catatan yang jelas tentang batasan rumus itu. Contohnya teman saya dia mendapat rumus penyelesaian kayak gini:
sin 2x + sin x = 0
2 sin 3/2x . cos 1/2x = 0
2sin 3/2x = 0
3/2 x = n . 180
x = n . 120
ada juga gini
cos 1/2 x = 0
1/2x = 90 + n . 180
boleh ajah sih klu kebetulan batasan sudutnya antara 0° dan 180° tapi masalahnya di situ tidak ada penjelasan yang jelas.
Padahal seharusnya 
sin 2x + sin x = 0
2 sin 3/2x . cos 1/2x = 0
sin 3/2x = 0 °

3/2x = 0 ° + n . 360 ° atau 3/2x = 180 ° - 0 ° + n . 360 °
Untuk n = 0
3/2x = 0 ° atau 3/2x = 180 °

x = 0 ° atau x = 120 °

Untuk n = 1
3/2x = 360 ° atau 3/2x = 180 ° + 360 °

x = 360 ° . 2/3 = 240 ° atau x = 540 ° . 2/3 = 360 °

... dst
cos 1/2x = 0
1/2x = 90  ° + n . 360 ° atau 1/2x = -90 ° + n . 360 °

untuk n = 0

1/2x = 90 ° atau 1/2x = -90 °

x = 180 ° atau x = 1/2x = -45 °

untuk n = 1
1/2x = 90 ° + 360 ° atau 1/2x = -90 ° + 360 °

1/2x = 450 ° . 2 = 900 ° atau x = 270 ° . 2 = 540 °

... dst
Jadi untuk persmaan trigonometri sebaiknya pakai rumus:
1) sin x = sin A
x = A + n . 360 ° atau
x = 180 ° - A + n . 360 °

2) cos x  = cos A
x = A + n . 360 ° atau 

x = -A + n. 360 °

3. tan x = tan A
x = A + n . 180 ° atau

x = 180 ° + A + n . 180 °

Catatan: nilai n = 0, 1, 2, 3,... sampai batasan nilai x yang diinginkan.
Semoga bermanfaat...

PERSAMAAN LINGKARAN

PERSAMAAN LINGKARAN DAN GARIS SINGGUNG

(Sukino, 2007: 206)

1. Persamaan lingkaran yang berpusat di O (0,0) dan berjari-jari 2√a adalah…

Jawab:

x² + y² = r²

x² + y² = (2√a)²

x² + y² = 4a

x² + y² – 4a = 0 … B

2. Persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan melalui titik  A(a,b) adalah…

Jawab:

3. Persamaan lingkaran yang berdiameter AB dengan A(-a,b) dan B(a,-b) adalah…

4. Persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) serta menyinggung garis 2x - 5  = 0 adalah…

Jawab:

5. Persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) serta menyinggung garis ay + b = 0  adalah…

Jawab:

Gerak Melingkar, Gerak Melingkar Beraturan (Bob Foster, …:105-106)

Gerak Melingkar

Gerak Melingkar Beraturan (Bob Foster, …:105-106)

1.  Sebuah baling-baling helicopter berputar sebanyak 900 putaran per menit.

a. Berapakah kecepatan sudutnya?

b. Berapakah kelajuan linier sebuah titik di ujung baling-baling jika radius baling-baling adalah 3 m?

Jawab:

Dik:

n = 900 kali.

t = 1 menit = 60 s

Dit:

a. ω …?

b. v → r = 3 m…?

Penye:

T = t/n = 60/900 = 0, 067

a. ω = 2τ/T = 2. 3,14 / 0, 067 = 93, 73 ≈ 94 rad/s.

b. v = ω . r = 94 . 3 = 282 m/s.

2. Pada sebuah mobil balap, jari-jari ban mobil sama dengan 30 cm. Mobil ini bergerak dipercepat dari keadaan diam sampai kecepatan 15 m/s dalam waktu 8 sekon. Dalam waktu 8 sekon tersebut, berapa kali ban mobil berputar?

Jawab:

Dik:

r = 30 cm = 0,3 m

v_o = 0 m/s

v =15 m/s

t = 8 s

Dit:

n → t = 8 s…?

Penye:

v_rata-rata = ½ (v₀ + v) = ½ (0 + 15) = 7,5 m/s

v = 2. τ. r. f

7,5 = 2. 3,14. 0,3. f

f = 7,5/1,884 = 3,98 ≈ 4 Hz

f = n / t

4 = n / 8

n = 4 . 8 = 32 putaran.

3. Seutas tali melilit sebuah roda yang berjari-jari 25 cm. Jika kelajuan sebuah titik pada tali yang sama dengan 5 m/s, berapakah kecepatan sudut roda ketika berputar?

Jawab:

Dik:

r = 25 cm = 0, 25 m

v = 5 m/s

Dit:

ω …?

Penye:

ω = v/r = 5 / 0, 25 = 20 rad/s.

4. Sebuah partikel bergerak melingkar dengan radius 40 cm. Jika partikel tersebut melakukan 5 kali putaran dalam setiap sekon, berapakah kelajuan linier partikel?

Jawab:

Dik:

r = 40 cm = 0,4 m

f = 5 Hz

Dit:

v …?

Penye:

v = 2. τ. r. f = 2. 3,14. 0,4. 5 = 12,56 ≈ 12,6 m/s

5. Sebuah benda bermassa 4 kg diikatkan pada tali dan diputar dengan jari-jari 6 m pada kelajuan konstan 12 m/s oleh seoarang pria. Berapakah kecepatan sudutnya?

Jawab:

Dik:

m = 4 kg

r = 6 m

v = 12 m/s

Dit:

ω …?

Penye:

ω = v/r = 12 / 6 = 2 rad/s.

RUMUS-RUMUS TRIGONOMETRI, RUMUS JUMLAH DAN PENGURANGAN COSINUS 3 (Sukino, 2007: 151)

RUMUS-RUMUS TRIGONOMETRI

RUMUS JUMLAH DAN PENGURANGAN COSINUS

(Sukino, 2007: 151)

Rumus:

1. cos (A + B) = cos A. cos B – sin A. sin B

2. cos (A - B) = cos A. cos B + sin A. sin B

Latihan Kompetensi Siswa 1

11. Bila α dan β sudut lancip, sin α = 3/5 dan sin β = 7/25, maka cos (α – β) = …

Jawab:

Buat segitiga siku-sikunya!!!

Sin α = 3/5

Cos α = 4/5

Sin β = 7/25

Cos β = 24/25

Cos (α – β) = cos α. cos β + sin α. sin β

                    = 4/5 . 24/25 + 3/5. 7/25

                    = 96/125 + 21/125

                    = 117/125… E

12. Pada suatu segitiga siku-siku ABC berlaku cos A cos B = ½, maka cos (A – B) =…

Jawab:

Pada persoalan ini saya belum menemukan cara penuruan rumus maka saya mencari nilai α dan β bila di cosinuskan kemudian dikalikan akan mendapatkan ½ .

Misalkan:

α = 45° dan β = 45° maka akan diperoleh:

cos α . cos β = cos 45°. cos 45° = ½ √2. ½ √2 2/4 = ½

Maka,

cos (α – β)    = cos (45- 45) °

                     = cos 0°

                     = 1…E

13.  sin 4x . sin 3x – cos 4x . cos 3x = …

Jawab:

sin 4x . sin 3x – cos 4x . cos 3x = - (cos 4x . cos 3x – sin 4x . sin 3x)

                                                   = - cos (4x +3x)

                                                   = - cos 7x …D

14. Dalam segitiga PQR diketahui cos P = ½ √2 dan cos Q = ½ √3. Nilai cos R = ….

Jawab:

cos P = ½ √2, maka P = 45 °

cos Q = ½ √3, maka Q = 30 °

∟ P + ∟Q + ∟R = 180°

45° + 30° + ∟R = 180°

∟R = 180° - 75° = 105°

cos 105° = cos (60 + 45) °

               = cos 60° . cos 45° - sin 60°. sin 45°

               = ½ . ½ √2 – ½ √3 . ½ √2

               = ¼ √2 (1 - √3) … B

15. Pada segitiga ABC dengan sin A = 3/5 dan sin B = 15/17, maka nilai cos C = ….

Jawab:

Misalkan,

∆ yang menangung sin A = ∆ I

∆ yang mengandung sin B = ∆ II

Saat disatukan untuk membentuk ∆ ABC maka ukuran ∆I berubah dengan syarat nilai sin A tetap.

sin A = 3/5 = tegak A/ miring A

3/ 5 =  15 / miring A

miring A = 15 . 5 /3 = 25

sisi samping ∆ I bisa di carii dengan Pythagoras hingga dapat 20.

cos C = cos (c₁ + c₂)

           = cos c₁ . cos c₂ – sin c₁ . sin c₂

              = 15/25 . 15/17 – 20/25. 8/17

           = 225/425 - 160/425

            = 65/425 = 13/85…B

RUMUS-RUMUS TRIGONOMETRI, RUMUS JUMLAH DAN PENGURANGAN COSINUS 2 (Sukino, 2007: 150)

RUMUS-RUMUS TRIGONOMETRI

RUMUS JUMLAH DAN PENGURANGAN COSINUS

(Sukino, 2007: 150)

Rumus:

1. cos (A + B) = cos A. cos B – sin A. sin B

2. cos (A - B) = cos A. cos B + sin A. sin B

Latihan Kompetensi Siswa 1

6. ½ √3 sin x + ½ cos x sama dengan …

Jawab:

½ √3 sin x + ½ cos x = sin 60°. sin x + cos 60°. cos x

                                   = cos 60°. cos x + sin 60°. sin x

                                   = cos x. cos 60° + sin x . sin 60°

                                   = cos (x – 60) °…C

7. Bila α dan β sudut lancip dengan cos α = 1/7 dan cos β = 11/14 maka cos (α + β) = …

Jawab:

cos α = 1/7

cos β = 11/14

sin α = 4√3/7

sin β = 5√3/14

cos (α + β)   = cos α. cos β – sin α. sin β

                    = 1/7. 11/14 - 4√3/7. 5√3/14

                    = 11/98 – 60/98

                    = -49/98 = -0,5 …B

8. Bila sin α = a dengan α tumpul, maka cos (α + τ/3) sama dengan…

Jawab:

sin α = a

cos α = -√(1- a²) … (- karena α tumpul)

τ/3 = 180°/3 = 60°

cos (α + τ/3) = cos (α + 60)°

                     = cos α . cos 60° - sin α. Sin 60°

                     = cos α . ½ - sin α . ½ √3

                     = -√(1- a²) . ½  – a. ½ √3

                     = –½ √3 a – ½ √(1- a²) … D

9. cos 125° cos 35° + sin 125° sin 35° sama dengan …

Jawab:

cos 125° cos 35° + sin 125° sin 35°   = cos (125 – 35)°

                                                           = cos 90°

                                                           = 0 …E

10. Bila tan α = 7/24 dan tan β = ¾ dengan α dan β merupakan sudut lancip maka cos (α + β) sama dengan …

Jawab:

Sin α = 7/25

Cos α = 24/25

Sin β = 3/5

Cos β = 4/5

Cos (α + β) = cos α. Cos β – sin α. Sin β

RUMUS-RUMUS TRIGONOMETRI, RUMUS JUMLAH DAN PENGURANGAN COSINUS 1 (Sukino, 2007: 150 -151)

RUMUS-RUMUS TRIGONOMETRI

RUMUS JUMLAH DAN PENGURANGAN COSINUS

(Sukino, 2007: 150 - 151)

Rumus:

1. cos (A + B) = cos A. cos B – sin A. sin B

2. cos (A - B) = cos A. cos B + sin A. sin B

Latihan Kompetensi Siswa 1

1. cos (x + 30°) = …

Jawab:

cos (x + 30°) = cos x. cos 30° - sin x. sin 30°

                       = cos x. 1/2√3 – sin x. ½

                       = ½(√3 cos x – sin x) …C

2. cox (x- 45°) = …..

Jawab:

cos (x - 45°)     = cos x. cos 45° + sin x. sin 45°

                        = cos x. 1/2√2 + sin x 1/2 √2

                        = ½ √2 (cos x + sin x) …A

3. cos 75° = …

Jawab:

Cos 75°     = cos (30 + 45) °

                  = cos 30°. cos 45° - sin 30°. Sin 45°

                  = ½ √3 . ½ √2 – ½ . ½ √2

                  = ¼ √2 (√3 -1) …A

4. cos 15° = …

Jawab:

Cos 15°     =  cos (45-30) °

                  = cos 45°. cos 30° + sin 45° . sin 30°

                  = ½ √2. ½ √3 + ½ √2 . ½

                  = ¼ √2 (√3 + 1) . √2/√2

                  = 2/4√2 (√3 +1)

                  = (√3 + 1)/2√2  … A

5. cos (x + y) cos (x – y) = …

Jawab:

Cos (x + y) cos (x – y) = cos ½(2x + 2y) cos ½ (2x – 2y)

                                      = ½ (cos 2x + cos 2y)

                                      = ½ (2 cos²x -1 + 2 cos²y -1)

                                      = ½ (2 cos²x + 2cos²y – 2)

                                      = cos² x + cos²y – 1

                                      = cos² x + cos²y – (sin²y + cos²y)

                                      = cos² x - sin²y … C