Pembahasan Soal OSN Matematika SMA 2019 oleh salah satu juri OSN

SOAL:

Misalkan n dan r bilangan asli yang memenuhi

1+2+...+(n-1)=(n+1)+...+(n+r+1)

Tunjukkan bahwa n komposit!

PEMBAHASAN:

Bukti,

Kiri = ½(n-1)n

Kanan =1/2(n+r)(n+r+1)-1/2n(n+1)

Kiri = Kanan

didapat

1/2n(n+1)+1/2n(n+1)=1/2(n+r)(n+r+1)

1/2n(2n) = ½(n+r)(n+r+1)

n(2n) = (n+r)(n+r+1)

2n² = (n+r)(n+r+1)

andai n prima

jika n/(n+r) dan n/(n+r+1)

maka n/1 akibatnya n=1 (kontradiksi)

maka n²/(n+r) atau n²/(n+r+1)

jika n²/(n+r) maka n²≤(n+r) dan 2≥(n+r+1)≥3>2 (absurd)

Jika n²≤(n+r+1) dan 2≥(n+r)

Akibatnya n² ≤ (n+r+1) ≤ 2+1=3

Tapi untuk setiap bilangan prima n berlaku

n² ≥ 2² = 4 (kontradiksi)

Jadi n komposit.

Untuk penjelasan lebih detail bisa lihat videonya di: https://www.youtube.com/watch?v=BkqNEndjBZo