Materi Pertemuan II Vektor bagian 1

1. Obyek, Besaran, Nilai dan Satuan

2. Besaran Vektor dan Besaran Skalar

3. Notasi Vektor

4. Jenis Vektor Berdasarkan Posisi Elemennya

5. Vektor di ruang R², R³ dan Rⁿ

6. Jarak Euclidean Antara Dua Vektor

7. Operasi Pada Vektor

8. Dot Product/Inner Product

Download DISINI

Soal dan Pembahasan Konsep Dasar Probabilitas Sudaryono Bagian 6

13. Dua kartu diambil secara acak (satu-satu) dari sekumpulan 52 kartu bridge yang dikocok dengan baik. Tentukan probabilitas untuk memperoleh 2 kartu as jika:

a. Pengambilang kartu pertama dikembalikan;

b. Pengambilan kartu kedua tidak dikembalikan;

Pembahasan:

a. Pengambilang kartu pertama dikembalikan

P(A) = (4/52)(4/52) = 1/169

b. Pengambilan kartu kedua tidak dikembalikan

p(B) = (4/52)(3/51) = 1/221

14. Tiga kartu diambil secara acak (Satu-satu) dari sekelompok 52 kartu bridge. Tentukanlah probabilitas kejadian terambilnya:

a. 2 kartu jack dan 1 kartu king;

b. 3 kartu satu jenis;

c. 3 kartu berbeda jenis;

d. paling sedikit 2 kartu as!

Pembahasan:

a. 2 kartu jack dan 1 kartu king

P(A) = (4/52) . (3/51) . (4/50) = 1/11050

b. 3 kartu satu jenis

P(B)  = (13/52) . (12/51) . (11/50) = 143/11050

c. 3 kartu berbeda jenis

P(C) = (52/52) . (39/51) . (26/50) = 6591/16575

d. paling sedikit 2 kartu as

P(D) = (4/52) . (3/51) . (50/50) = 1/221

15. Satu kantong berisi 5 bola putih fan 3 bola merah. satu kantong yang lain lagi berisi 4 bola putih dan 5 bola merah. Jika dari setiap kantong diambil sebuah bola, tentukanlah probabilitas kejadian terambilnya:

a. dua bola putih

b. dua bola merah

c. satu bola putih dan satu bola merah

Pembahasan:

a. Dua bola  putih

P(A) = (5/8) . (4/9) = 5/18

b. Dua bola merah

P(B) = (3/8) . (5/9)  = 5/24

c. satu bola putih dan satu bola merah

Jika kantong pertama bola putih dan kantong kedua bola merah

P(C1) = (5/8) . (5/9) = 25/72

Jika kantong pertama bola merah dan kantong kedua bola putih

P(C2) = (3/8) . ( 4/9) = 1/6

Jadi

P(CT) = P(C1)+P(C2) = (25/27) . (1/6) =25/162

Soal dan Pembahasan Konsep dasar Probabilitas Sudaryono Bagian 6

11. Sebuah perusahaan komputer bermaksud memilih 15 orang tenaga kerja pemasaran. Kelima belas tenaga kerja tersebut dipilih dari 5 provinsi, masing-masing diambil 3 orang. Untuk diseleksi 10 orang dari DKI Jakarta, 8 orang dari Jawa Barat, 7 orang dari Jawa Tengah, 5 orang dari Sumatra Selatan, dan 6 orang dari Kalimantan Barat. Ada berapa banyak komposisi rekrutmen tenaga kerja tersebut?

Pembahasan:

Banyakkomposisi: ₁₀C₃ . ₈C₃. ₇C₃ . ₅C₃ . ₆C₃ = 120 . 56 . 35 . 10 . 20 = 47.040.000 cara

12. Suatu survei atas 500 mahasiswa yang mengikuti satu atau beberapa mata kuliah (Matematika, Statistika, dan Biologi) selama satu semseter mengungkapkan banyaknya mahasiswa yang mengikuti mata kuliah tersebut.

Matematika 329, matematika dan Statistika 83

Statistika 186, matematika dan biologi 217

Biologi 295, statistika dan biologi 63

Berapa banyak mahasiswa yang mengikuti:

a. tiga mata kuliah tersebut

b. matematika, tetapi tidak biologi

c. statistika, tetapi tidak matematika

d. biologi tetapi tidak statistika

e. matematika atau biologi, tetapi tidak statistika;

f. Matematika, tetapi tidak statitika atau biologi?

Pembahasan:

Misalkan:

M : Matematika

S : Statistika

B : Biologi

n(M) = 329-(83-n)-(217-n) –n =29+n

n(S) = 186-(83-n)-(63-n)-n = 40+n

n(B) = 295-(63-n)-(217-n)-n =15+n

 

a. tiga mata kuliah { n(M∩S∩B)}

n(S) = n(M) + n(S) + n(B) + n(M∩S) + n(M∩B) + n(S∩B) + n(M∩S∩B)

500  = (29+n) + (40+n) + (15+n) + (83-n) + (217-n) + (63-n) + n

500 = 447 + n

n = 500 – 447 = 53

n(M∩S∩B) = n = 53 orang

b. Matematika, tetapi tidak biologi

Banyaknya = n(M) + n(M∩S) = (29+n) + (83 – n) = 112 orang

c. Statistika, tetapi tidak matematika

Banyaknya =  n(S) + n(S∩B) = (40+n) + (63-n) = 103 orang

d. Biologi tetapi tidak statistika

Banyaknya = n(B) + n(M∩B) = (15+n) + (217-n) = 232 orang

 e. Matematika, tetapi tidak statitika atau biologi

Banyaknya = n(M) = 29+n = 29+53 = 82 orang

Soal dan Pembahasan Konsep Dasar Probabilitas Sudaryono Bagian 5

9. Suatu komisi yang terdiri atas 4 ahli politik dan 3 ahli ekonomi akan dibentuk. Komisi tersebut harus dipilih dari 6 ahli politik dan 7 ahli ekonomi. Ada berapa banyak komisi yang dapat dibentuk jika:

a. tanpa ada pembatasan apa-apa;

b. tiga ahli politik harus masuk di komisi itu.

c. seorang ahli ekonomi tertentu di larang masuk dalam komisi itu?

Pembahasan:

a. Tanpa ada pembatasan apa-apa

Banyak cara = ₆C₄ . ₇C₃ = 15 . 35 = 525 cara

b. Tiga ahli politik harus masuk di komisi itu

Banyak cara = ₃C₁ . ₇C₃ = 3 . 35 = 105

c. Seorang ahli ekonomi tertentu di larang masuk dalam komisi

Banyak cara = ₆C₄ . ₆C₃ = 15 . 20 = 300 cara

10. Perusahaan Garuda mempunyai suatu jenis kendaraan yang berisi 6 tempat duduk (3 menghadap ke muka dan 3 menghadap ke belakang).

a. Dengan berapa cara 6 karyawan yang dijemput dapat menempati tempat duduk yang tersedia;

b. Bila ada 2 karyawan yang tidak mau duduk menghadap ke belakang, ada berapa cara 6 karyawan itu menempati tempa duduk yang tersedia?

Pembehasan:

a. Cara 6 karyawan yang dijemput dapat menempati tempat duduk yang tersedia

Banyak cara = ₆P₆ = 720 cara

b. Bila ada 2 karyawan yang tidak mau duduk menghadap ke belakang

Banyak cara = 3. ₄P₄ = 3 . 24 = 72 cara

Soal dan Pembahasan Konsep Dasar Probabilitas Sudaryono Bagian 4

7. Ada 3 kotak yaitu kotak 1, 2, dan 3 yang masing-masing berisi bola merah dan putih sebagai berikut.

	Kotak 1	Kotak 2	Kotak 3	Jumlah
Bola merah	5	7	8	20
Bola putih	4	3	6	13
Jumlah	9	10	14	33

Mula-mula satu kotak dipilih secara acak, kemudian dari kotak yang terpilih diambil dari bola juga secara acak. Tiap kotak mempunyai kesempatan yang sama untuk terpilih.

a. Berapa peluang bahwa bola itu merah?

b. Berapa peluang bahwa bola itu putih?

c. Bola terpilih merah, berapa peluang bahwa bola tersebut dari kotak 1?

d. Bola terpilih putih, berapa peluang bahwa bola tersebut dari kotak 2?

Pembahasan:

Anggap peluang kotak terpilih adalah sama, maka :

Peluang terpilih kotak 1 = 1/3
Peluang terpilih kotak 2 = 1/3
Peluang terpilih kotak 3 = 1/3

a. Peluang bahwa bola itu merah

P(M)=(1/3)(5/9) + (1/3)(7/10) + (1/3)(20/33) = 5/27 + 7/30 + 20/99 = (550 + 616 + 600)/2970 = 1766/2970 = 883/1485

b. Peluang bahwa bola itu putih

P(P) = (1/3)(4/9) + (1/3)(3/10) + (1/3)(13/33) =  = 4/9 + 3/30 + 13/99 = (440 + 297 + 390)/2970 = 1127/2970

c. Bola terpilih merah, peluang bahwa bola tersebut dari kotak 1

P(I/M) = P(I∩M)/P(M) = (1/3).(5/9) / (20/33) =  (5/27) / (20/33) = (5.33) / (27.20) = 11/36

d. Bola terpilih putih, peluang bahwa bola tersebut dari kotak 2

P(II/P) = P (II∩P)/P(P) = (1/3)(3/10) / (13/33) =  (3/30) / 13/33 = 33/130

8. Ada berapa banyak cara untuk 3 pria, 5 wanita, 4 pemuda, dan 4 gadis dapat dipilih dari 7 pria, 9 wanita, 5 pemuda, dan 5 gadis jika:

a. Semua orang bebas dipilih pada masing-masing kelompok;

b. Seorang pria dan wanita tertentu harus terpilih;

c. Seorang pria, 1 orang wanita, 1 orang pemuda, dan 1 orang gadis tidak boleh dipilih?

Pembahasan:

a. Semua orang bebas dipilih pada masing-masing kelompok

Banyak cara = ₇C₃ . ₉C₅ . ₅C₄ . ₅C₄ = 35 . 126 .  5 . 5 = 110250 cara

b. Seorang pria dan wanita tertentu harus terpilih

Banyak cara: ₅C₄ . ₅C₄ = 5 . 5 = 25 cara

c. Seorang pria, 1 orang wanita, 1 orang pemuda, dan 1 orang gadis tidak boleh dipilih

Banyak cara = ₆C₃ . ₈C₅ . ₄C₄ . ₄C₄= 20*56*1*1 = 1120 cara

Referensi Mata Kuliah Aljabar Linier dan Materiks

1. Siregar, Suryadi. 2018. Catatan Kuliah Aljabar Linier. Bandung : STMIK BANDUNG.

Materi:

• ·         Ruang Vektor
• ·         kebergantungan Linier Vektor di Rn dan Matriks
• ·         Sistem Persamaan Linier dan Matriks
• ·         Aplikasi Aljabar Linier

2. Gozali, S. M. 2010. Aljabar Linier. Bandung: UPI.

Materi:

• ·         Sistem Persamaan Linier dan Matriks
• ·         Ruang Vektor
• ·         Ruang Hasil Kali Dalan
• ·         Tranformasi Linier
• ·         Nilai Eigen dan Diagonalisasi

3. Tenaya, I Gusti N. P. 2016. Diklat Alajabar Linier. Bukit Jimbaran: Fakultas Teknik UniversitasUdayana.

Materi:

• ·         Matriks
• ·         Determinan
• ·         Invers Matriks

·         Sistem Persamaan Linier

4. Musthofa. 2011. Catatan Kuliah Aljabar Linier. Yogyakarta: FMIPA UNY.

• ·         Sistem Persamaan Linier
• ·         Matriks

5. Tim Dosen. Modul Perkuliahan Matriks dan AljabarLinier. Yogyakarta: Fakultas Ilmu Komputer Universitas Mercu Buana.

• ·         Sistem Persamaan Linier

6. Siraboni, Yuliant. 2002. Buku Ajar Aljabar Linier.Bandung: Sekolah Tinggi Teknologi Telkom.

Materi:

• ·         Matriks dan Operasi-Operasinya
• ·         Sistem Persamaan Linier
• ·         Determinan Matriks
• ·         Vektor-vektor di bidang dan Ruang.
• ·         Ruang-Ruang Vektor
• ·         Ruang Hasil Kali Dalam
• ·         Ruang Eigen
• ·         Transformasi Linier

Note:
Untuk Download Silahkan klik pada judul masing-masing referensi

Trik perkalian dekat 100

Cara:

1. 100 – bilangan pertama

2. 100 – bilangan kedua

3. Tambahkan hasil langkah (1) dan (2)

Hasil:

4. Tulis hasil 100 – hasil langkah (3)

5. Tulis hasil kali dari langkah (1) dan (2)

Contoh:

Aspek Perbedaan Kombinasi dan Permutasi

Ada beberapa aspek yang mendasari perbedaan antara kombinasi dan permutasi yang disajikan dalam tabel berikut:

No	Aspek	Kombinasi	Permutasi
1	Pengertian	pemilihan dari satu atau lebih anggota himpunan tanpa memperhatikan urutan	cara mengatur sutau himpunan dengan memperhatikan urutan
2	Rumus umum	nCr = n! / r!(n-r)!	nPr = n! / (n-r)!
3	Elemen	tidak tersusun	tersusun
4	Fokus	memilih atau seleksi	susunan
5	Urutan	tidak relevan	relevan
6	Menjawab	Berapa banyak kelompok berbeda yang dapat dipilih dari kelompok objek yang lebih besar?	Berapa banyak susunan berbeda yang bisa dibuat dari sekumpulan benda tertentu?
7	Turunan	Kombinasi tunggal dari permutasi tunggal.	Beberapa permutasi dari kombinasi tunggal.

Referensi:

Tiro, M. A. 2008. Dasar-Dasar Statistika Edisi Keempat. Makassar: Andira Publisher.

https://apaperbedaan.com/permutasi-dan-kombinasi/ 

Soal dan Pembahasan Konsep Dasar Probabilitas Sudaryono Bagian 3

5. Misalkan kita mempunyai sebuah kotak berisi 20 sekering, dan 5 di antaranya rusak. Bila dua sekering diambail secara acak (satu-satu) pengembalian, berapa peluang sekering yang terambil itu keduanya rusak?

Pembahasan:

A : kejadian sekering pertama rusak

B : Kejadian sekering kedua rusak

P(A∩B) = P(A) . P(A/B) = 5/20 . 4/19 = 1/19

6. Dari 10 orang staf bagian pemasaran PT. Rumah Elok diketahui:

• Sarjana teknik pria 1 orang;
• Sarjana teknik wanita 3 orang;
• Sarjana ekonomi pria 2 orang;
• Sarjana ekonomi wanita 4 orang;

Jika dipilih secara acak 1 orang untuk menjadi manajer pemasaran.

a. Berapa cara yang dapat dibentuk jika diinginkan bahwa manajer harus sarjana teknik;

b. Berapa peluang A jika A menyatakan kejadian bahwa manajer adalah seorang wanita?

c. Berapa peluang B jika B menyatakan kejadian bahwa manajer adalah seorang  sarjana teknik?

d. Hitunglah P( A / B ) dan P( A U B )!

Pembahasan:

Misalkan

STP = sarjana terknik pria
STW = sarjana teknik wanita
SEP = sarjana ekonomi pria
SEW = sarjana ekonomi wanita
ST = sarjana teknik
SE = sarjana ekonomi

a. Cara yang dapat dibentuk jika diinginkan bahwa manajer harus sarjana teknik

n(ST) = n(STP) + n(STW) = 1 + 3 = 4

b. Peluang A jika A menyatakan kejadian bahwa manajer adalah seorang wanita

n(A) = n(STW) + n(SEW) = 3 +  4 = 7

P(A) = n(A) / n(S) = 7 / 10

c. Peluang B jika B menyatakan kejadian bahwa manajer adalah seorang  sarjana teknik

n(B) = n(ST) = 4

P(B) = n(B) / n(S) = 4 / 10 = 2/5

d. P( A / B ) dan P( A U B )

n (A ∩ B) = 3 → P(A ∩ B) = n(A ∩ B)/ n(S) = 3/10

P( A / B ) = P(A ∩ B) / P(B) = (3/10) / (2/5) = ¾

dan

P( A U B ) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) = 7/10 + 2/5 – 3/10 = 8/10 = 4/5